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狹義相對論中的光錐

在狹義相對論中，光錐（英文：Light cone）是閔考斯基時空下能夠與一個單一事件通過光速存在因果聯繫的所有點的集合，並且它具有勞侖茲不變性。光錐也可以看作是閔考斯基時空下的一束光隨時間演化的軌跡。在三維空間中，光錐可以通過將兩條正交的水平軸取做空間坐標，將垂直於水平面的豎直軸取做時間坐標從而實現可視化。為了簡明起見，這裡首先考慮的是平面上的光錐：即用來描述它的閔考斯基圖只具有一維時間（縱軸）和一維空間（橫軸），我們將看到光錐在勞侖茲變換下具有不變性。

[编辑] 勞侖茲變換

參見：勞侖茲變換

正常勞侖茲群的勞侖茲變換包括兩種基本變換操作：旋轉（rotation）和直線運動（boost），而直線運動也可以看作是時間與空間坐標軸之間的相對旋轉（具體見下文）。勞侖茲變換彼此間是非對易的，這意味著勞侖茲群是一個非阿貝爾群；這兩種變換操作和平移變換操作一起包含在同樣為非阿貝爾群的龐加萊群中。我們考慮其中的直線運動變換：

$\Lambda^{\mu^\prime}_\nu = \begin{pmatrix} cosh\,\phi & -sinh\,\phi & 0 & 0\\ -sinh\,\phi & cosh\,\phi & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

這個勞侖茲變換描述的是坐標系沿x軸的勻速運動情形，其中參數 $\phi\,$ 和坐標系的運動速度 $v\,$ 之間的關係為

$v = tanh\,\phi\,$

將這個關係代入上面的變換矩陣中可以得到勞侖茲變換較為初等的傳統形式，即

$t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

y' = y

z' = z

[编辑] 閔考斯基圖

參見：閔考斯基圖

勞侖茲變換下的閔考斯基圖

光速在所有慣性系下都是相同的

在閔考斯基圖中，一維時間和一維空間相互正交，橫軸為空間x軸，縱軸為時間t軸。在上文中沿x軸運動的勞侖茲變換下，產生的新坐標系與原坐標系之間的關係為

$t^{\prime} = t\,cosh\,\phi - x\,sinh\,\phi\,$

$x^{\prime} = -t\,sinh\,\phi + x\,cosh\,\phi\,$

其結果就是兩條坐標軸會同時向內發生旋轉，如左圖所示，其中還表示了任意一點A在不同坐標下的投影。變換後的兩條坐標軸在歐幾里得幾何下不是正交的，但在勞侖茲變換的意義下仍然是正交的。

在自然單位下，光速 $c = 1\,$ ，則在閔考斯基圖中光的軌跡由方程式 $x = \pm t\,$ 給出；同樣，對於勞侖茲變換後的坐標系，光的軌跡由方程式 $x^{\prime}= \pm t^{\prime}\,$ 給出。如右圖所示，光的軌跡在勞侖茲變換下的不同坐標系中都是相同的，即光速在所有慣性系下都是相同的，這也正是狹義相對論的光速不變原理的體現。

[编辑] 光錐

從閔考斯基圖上的光的軌跡 $x = \pm t\,$ 可以建立光錐的概念。對於閔考斯基時空中的任一事件，都對應有時空中的一組點的集合能夠通過光的軌跡（在閔考斯基時空中是直線）與之聯繫，這組點的集合被稱作光錐。在通常的二維空間和一維時間表示中光錐由兩個對稱的圓錐體組成，它的特性是具有勞侖茲不變性。兩個對稱的圓錐分別代表了當前事件的過去和未來：

光錐內部的所有點（如左圖中的事件B）都可以通過小於光速的速度與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類時間隔

s 2 = - t 2 + x 2 + y 2 + z 2 <0

光錐表面上的所有點都可以通過光速與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類光或零性間隔

s 2 = - t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 0

光錐外部的所有點（如左圖中的事件C）都無法與當前事件建立因果聯繫，它們與當前事件的間隔被稱作類空間隔

s 2 = - t 2 + x 2 + y 2 + z 2 > 0

由於光錐本身具有勞侖茲不變性，事件之間的間隔屬於類時還是類空的也與觀察者所在的參考系無關。其中對於類空間隔的事件，由於兩者沒有因果聯繫，不能認為它們也具有古典力學中描述的所謂同時性，即無法認為任何類空間隔的兩個事件是同時的。

光錐的概念同樣可以擴展到廣義相對論中，這時的光錐可以定義為一個事件的因果未來和因果過去的邊界，並包含了這個時空中的因果結構信息。構成光錐的仍然是這個時空中光的世界線，此時對應的時空圖是潘洛斯-卡特圖。由於在廣義相對論中時空可以是彎曲的，光錐也有可能是收縮或傾斜的。

光子

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光子
光子從雷射的相干光束中出射
組成：	基本粒子
系：	玻色子
群：	規範玻色子
基本交互作用：	電磁力
理論：	阿爾伯特·愛因斯坦 (1905–17)
符號：	$γ$ 或 $h ν$
質量：	0^[1]
平均壽命：	穩定^[2]
電荷：	0
自旋：	1^[1]

光子是傳遞電磁交互作用的基本粒子，是一種規範玻色子。光子是電磁輻射的載體，而在量子場論中光子被認為是電磁交互作用的媒介子^[3]。與大多數基本粒子（如電子和夸克）相比，光子的靜止質量為零^[4]，這意味著其在真空中的傳播速度是光速。與其他量子一樣，光子具有波粒二象性：光子能夠表現出古典波的折射、干涉、繞射等性質^[5]（關於光子的波動性是古典電磁理論描述的電磁波的波動還是量子力學描述的機率波的波動這一問題請參考下文波粒二象性和不確定性原理）；而光子的粒子性則表現為和物質交互作用時不像古典的波那樣可以傳遞任意值的能量，光子只能傳遞量子化的能量，即： $E = h\nu\,$ 這裡 $h\,$ 是普朗克常數， $\nu\,$ 是光波的頻率。對可見光而言，單個光子攜帶的能量約為4×10^-19焦耳，這樣大小的能量足以激發起眼睛上感光細胞的一個分子，從而引起視覺^[6]。除能量以外，光子還具有動量和偏振態，不過由於有量子力學定律的制約，單個光子沒有確定的動量或偏振態，而只存在測量其位置、動量或偏振時得到對應本徵值的機率。

基本粒子

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基本粒子指人們認知的構成物質的最小最基本的單位。但是因為物理學的不斷發展，人類對物質構成的認知逐漸深入，因此基本粒子的定義隨時間也是有所變化的。目前在粒子物理學中，標準模型理論認為的基本粒子可以分為夸克、輕子、規範玻色子和希格斯粒子四大類。標準模型理論之外也有理論認為可能存在質量非常大的超粒子。

基本粒子列表

[编辑] 基本粒子定義的變化

傳統上（20世紀前、中期）的基本粒子指質子、中子、電子、光子和各種介子，這是當時人類所能探測的最小粒子。而現代物理學發現質子、中子、介子都是由更加基本的夸克和膠子構成。同時人類也發現了性質和電子類似的一系列輕子，還有性質和光子、膠子類似的一系列規範玻色子。這些是現代的物理學所理解的基本粒子。

[编辑] 基本粒子的分類

[编辑] 費米子

主條目：費米子

[编辑] 夸克

目前的實驗顯示共存在6種夸克（quark），和他們各自的反粒子。這6種夸克又可分為3「代」。他們是

第一代：u（上夸克） d（下夸克）

第二代：s（奇異夸克） c（魅夸克）

第三代：b（底夸克） t（頂夸克）

它們的質量關係是 $m_u \simeq m_d <m_s <m_c <m_b <m_t$ 。另外值得指出的是，他們之所以未能被早期的科學家發現，原因是夸克決不會單獨存在（頂夸克例外，但是頂夸克太重了而衰變又太快，早期的實驗無法製造）。他們總是成對的構成介子，或者3個一起構成質子和中子這一類的重子。這種現象稱為夸克禁閉理論。這就是為什麼早期科學家誤以為介子和重子是基本粒子。

[编辑] 輕子

共存在6種輕子（lepton)和他們各自的反粒子。其中3種是電子和與它性質相似的 $μ$ 子和 $τ$ 子。而這三種各有一個相伴的中微子。他們也可以分為三代：

第一代：e（電子） $ν e$ （電子中微子）

第二代： $μ$ （ $μ$ 子） $ν μ$ （ $μ$ 子中微子）

第三代： $τ$ （ $τ$ 子） $ν τ$ （ $τ$ 子中微子）

[编辑] 玻色子

主條目：玻色子

[编辑] 規範玻色子

這是一類在粒子之間起媒介作用、傳遞相互作用的粒子。之所以它們稱為「規範玻色子」，是因為它們與基本粒子的理論楊-米爾斯規範場理論有很密切的關係。

自然界一共存在四種相互作用，因此也可以把規範玻色子分成四類。

引力相互作用：引力子（graviton）

電磁相互作用：光子（photon）

弱相互作用（使原子衰變的相互作用）：W 及 Z 玻色子，共有3種： $W +, W -, Z 0$

強相互作用（夸克之間的相互作用）：膠子（gluon）

粒子物理學已經證明電磁相互作用和弱相互作用來源於宇宙早期能量極高時的同一種相互作用，稱為「弱電相互作用」。有很多粒子物理學家猜想在更早期宇宙更高能量（普朗克尺度）時很可能這四種相互作用全都是統一的，這種理論稱為「大統一理論」。但是目前因為加速器能夠達到的能量相對普朗克尺度仍然非常的低，所以很難驗證。而大統一理論目前主要的發展方向是超弦理論。

[编辑] 膠子

膠子是強相互作用的媒介子，帶有色與反色並由於色緊閉而從未被探測器觀察到過。不過，像單個的夸克一樣，它們產生強子噴注。在高能態環境下電子與正電子的湮沒有時產生三個噴註：一個夸克，一個反夸克和一個膠子是最先證明膠子存在的證據

[编辑] 希格斯粒子

希格斯粒子（Higgs）是粒子物理標準模型中唯一還沒有在加速器上產生出來的粒子。粒子物理學家們認為希格斯粒子與其他粒子的相互作用使其他粒子具有質量。相互作用越強質量就越大。希格斯粒子本身質量極大，目前的加速器能量還無法達到，而理論的計算也比較困難。物理學家們普遍希望能夠在2008年將要開始運行的大型強子對撞器上產生出希格斯粒子。

標準模型預言存在2種希格斯粒子： $H +$ 和 $H 0$ ，但是也有很多科學家提出其他的可能性。

[编辑] 標準模型理論以外的理論性粒子

[编辑] 超對稱粒子

除了以上這些實驗已經證明的基本粒子之外，理論粒子物理學家為了解釋某些現有理論無法解釋的實驗現象，而猜想我們的宇宙中可能存在超對稱粒子。它們質量非常地大（相對一般粒子如質子而言），因此現有的加速器還無法製造他們。但是因為量子漲落的存在，因此它們可能在非常短的時間間隔內和非常小的機率下與我們可見的粒子發生相互作用，因此它們可以間接地探測到。目前每種粒子都被認為存在對應的超對稱粒子。並且被用來解釋某些物理現象。例如夸克的超對稱粒子用來解釋正反粒子數目的不對稱，以及中微子的超對稱粒子用來解釋為什麼中微子的質量如此之小（但不是等於0）。

[编辑] 假想的粒子

有一些粒子，僅僅是理論學家的假想，而基本沒有確切的實驗根據，因此可能宇宙中根本不存在。這些粒子的提出或者只是為了給某些現有的現象作一種可能的解釋，或者僅僅是這種粒子如果存在也不會破壞現有的物理定律，因此我們沒有理由相信他們一定不存在而已。例如某些科學家認為占宇宙總能量約25%的「暗物質」，就是一種與其他物質作用極其微弱的但是有質量的粒子(WIMP)。此外也有一些理論研究某些速度永遠大於光速的速子，以及磁單極子或加速子等等。

真空極化

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在量子場論裡，尤其是量子電動力學， 真空極化是一個在背景電磁場中產生電子-正子虛粒子對的過程。產生的虛粒子對會改變原本電荷和電流的分佈。有時這被視作規範玻色子（光子）的自身能量（self energy）。 1997年，日本TRISTAN粒子加速器觀測到真空極化的現象。 ^[1]

[编辑] 理論解釋

根據量子場論，一個包含作用粒子的基態（或真空態）不單純只是個空無一物的空間，它包含了存活時間很短虛正反粒子對，從真空中產生並彼此湮滅。

部分正反粒子對帶有電荷，例如正負電子對。這類的粒子對會形成電偶極矩。在電磁場的作用下粒子對會產生位移，並且反過來影響電磁場。（部分的遮蔽效應或介電質效應）因此場的作用會比原先預期的來得小。而這個虛粒子對轉向的過程就是真空極化。

正反費米子對的一圈圖對於真空極化的貢獻表示成下圖：

[编辑] 真空極化張量

真空極化在數學上量化成真空極化張量 $Π μν (p)$ 來描述介電質效應，其中 $Π μν (p)$ 是光子四動量 $p$ 的函數。因此，真空極化與傳遞的動量有關。換句話說，電容率的大小與尺度是相關的。以電磁作用而言，我們可將精細結構常數表示成一個動量相關的有效值。在第一階修正，我們得到：

$\alpha_\text{eff}(p^2) = \frac{\alpha}{1 - [\Pi_2(p^2) - \Pi_2(0)]}$

式子中 $Π μν (p) = (p 2 g μν - p μ ν)Π(p 2)$ ，下標 $2$ 表示一階- $e 2$ 修正。由於沃德等式(Ward identity)，張量 $Π μν (p)$ 的組成被固定。

量子場論

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（重定向自量子場論）

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量子場論

費曼圖

歷史...

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量子場論是量子力學和古典場論相結合的物理理論，已被廣泛的應用於粒子物理學和凝聚態物理學中。量子場論為描述多粒子系統，尤其是包含粒子產生和湮滅過程的系統，提供了有效的描述框架。非相對論性的量子場論主要被應用於凝聚態物理學，比如描述超導性的BCS理論。而相對論性的量子場論則是粒子物理學不可或缺的組成部分。自然界目前人類所知的有四種基本交互作用：強交互作用，電磁交互作用，弱交互作用，引力。除去引力，另三種交互作用都找到了合適滿足特定對稱性的量子場論來描述。強作用有量子色動力學；電磁交互作用有量子電動力學，理論框架建立於1920到1950年間，主要的貢獻者為保羅·狄拉克，弗拉迪米爾·福克，沃爾夫岡·包立，朝永振一郎，施溫格，理察·費曼和戴森等；弱作用有費米點作用理論。後來弱作用和電磁交互作用實現了形式上的統一，通過希格斯機制產生質量，建立了弱電統一的量子規範理論，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子場論成為現代理論物理學的主流方法和工具。

[编辑] 歷史

量子場論發軔於對量子躍遷所發出的光譜強度的計算。 1925年馬克思·玻恩和帕斯卡·約當首先考慮了這個問題。1926年, 馬克思·玻恩，沃納·海森堡和帕斯卡·約當運用正則量子化的方法，獲得了忽略極化和源項的自由電磁場的量子理論。1927年，保羅·狄拉克給出了這個問題的第一個自洽的解決方案。對當時人們唯一知道的古典場——電磁場——的量子化不可避免地導致了量子場論的出現，因為理論必須處理粒子數改變的情況，例如體系從只包含一個原子的初態變為包含一個原子和一個光子的終態。量子場論中，物質的質量僅被視為場的平方項之係數，並不具備實質物理意義。

顯然，對電磁場的量子化需要符合狹義相對論的要求。1928年約當和包立證明，場算符的對易關係是勞侖茲不變的。1933年，尼爾斯·波耳和Leon Rosenfeld將這些對易關係與測量類空間隔下的場的限制聯繫起來。狄拉克方程式和電洞理論的發展促使人們將相對論中的因果性關係應用到量子場論中，並在Vladimir Fock工作的基礎上由Wendell Furry和羅伯特·奧本海默完成了這一工作。將量子力學和狹義相對論結合起來是促使量子場論發展的第二個動機。這條線索對於粒子物理及標準模型的發展很是關鍵。

1927年約當將對場的正則量子化方法推廣到量子力學中的波函數，並稱之為二次量子化。1928年約當和Eugene Wigner發現Pauli不相容原理要求對電子場的量子化需要採用反對易的產生和湮滅算符。一致而且方便地處理多粒子系統的統計，是促使量子場論發展的第三個動機。這條線索進一步發展為量子多體理論，並對凝聚態物理和核物理產生了重要的影響。

[编辑] 量子化一個古典場

[编辑] 正則量子化

場的正則量子化方法是粒子力學中的正則量子化方法向無窮多自由度系統的推廣。正則量子化是針對古典場而言的。首先將古典場納入正則形式（即哈密頓形式），並得到其共軛場。量子化就是將古典場及其共軛場看作希爾伯特空間中的算符，並假設其滿足一定的對易或者反對易關係式。

[编辑] 重整化

量子場論中計算格林方程式之關聯函數時將遭遇到發散困難，這種困難很自然地出現在無窮上下限積分之中，並以紫外發散和紅外發散的形式出現。而解決發散的辦法之一即為重整化。重整化的關鍵在於標度變換，即將場的標度變換為更大的標度，從而將發散部分隔離出來。這種辦法的精神類似於眼睛和反光鏡的對視，眼睛中有反光鏡里的眼睛，而反光鏡里的眼睛又有眼睛裡反光鏡里的眼睛......^[1]

超對稱粒子

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（重定向自超对称粒子）

在粒子物理學裏，超對稱粒子或超伴子是一種以超對稱聯係到另一種較常見粒子的粒子。在這物理理論中，每種費米子都應有一種玻色子「拍檔」（費米子的超對稱粒子），反之亦然。沒有「破缺」的超對稱預測：一顆粒子和其超對稱粒子都應有完全相同的質量。至今仍然沒有標準模型粒子的超對稱粒子被發現。這可能表示超對稱理論是錯誤的，或超對稱並不是一種「不破」的對稱性。如果超對稱粒子被發現，其質量會決定超對稱破裂時的尺度

就實純量的粒子（如軸子）而言，它們有一個費米子超對稱粒子，也有一個實純量場。

在延伸的超對稱裏，一種特定粒子可能會有多於一個超對稱粒子。舉例，在四維空間裏，一個光子會有兩個費米超對稱粒子和一個純量超對稱粒子。

在零維的情況下（常被稱作矩陣力學），有可能存在超對稱，但沒有超對稱粒子。然而，這只有在當超對稱性不包含超對稱粒子的情況下才成立。

維恩位移定律

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幾個不同溫度下的黑體輻射的電磁波譜（橫軸為輻射的波長，縱軸為相應的能量密度）。維恩位移定律描述的就是輻射峰值隨黑體溫度變化的關係。

維恩位移定律（Wien's displacement law）是物理學上描述黑體電磁輻射能流密度的峰值波長與自身溫度之間反比關係的定律，其數學表示為：

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

式中

$\lambda_{max} \,$ 為輻射的峰值波長（單位米），

$T \,$ 為黑體的絕對溫度（單位開爾文），

b 為比例常數，稱為維恩位移常數，數值等於2.897 7685(51) × 10^–3 m K （2002年國際科技數據委員會(CODATA)推薦值，括號中為68.27%置信度下的不確定尾數）。

光學上一般使用奈米（nm）作為波長單位，則
b = 2.897 7685(51) × 10⁶ nm K.

[编辑] 說明

維恩位移定律說明了一個物體越熱，其輻射譜的波長越短（或者說其輻射譜的頻率越高）。譬如在宇宙中，不同恆星隨表面溫度的不同會顯示出不同的顏色，溫度較高的顯藍色，次之顯白色，瀕臨燃盡而膨脹的紅巨星表面溫度只有2000-3000K，因而顯紅色^[1]。太陽的表面溫度是5778K，根據維恩位移定律計算得的峰值輻射波長則為502nm，這近似處於可見光光譜範圍的中點，為黃光^[2]。

與太陽表面相比，通電的白熾燈的溫度要低數千度，所以白熾燈的輻射光譜偏橙。至於處於「紅熱」狀態的電爐絲等物體，溫度要更低，所以更加顯紅色。溫度再下降，輻射波長便超出了可見光範圍，進入紅外區，譬如人體釋放的輻射就主要是紅外線，軍事上使用的紅外線夜視儀就是通過探測這種紅外線來進行「夜視」的。

本定律由德國物理學家威廉·維恩（Wilhelm Wien）於1893年通過對實驗數據的經驗總結提出。

[编辑] 頻率形式

用f 表示頻率，單位赫茲，則維恩位移定律可表示為以下頻率形式

$f_{max} = { \alpha k \over h} T \approx (5.879 \times 10^{10} \ \mathrm{Hz/K}) \cdot T$

$\alpha \approx 2.821439...$ 是數值求解最大值方程得到的常數；

k 為玻爾茲曼常數，

h 為普朗克常數，

T 為絕對溫度（單位開爾文）

需要注意的是，以上頻率形式中的輻射能流密度定義為「通過單位面積、單位寬度的頻率帶在單位時間中輻射出的能量」，而波長形式的輻射能流密度則定義為「通過單位面積、單位寬度的波長範圍在單位時間中輻射出的能量」，因此 $f m a x$ 和 $λ m a x$ 對應的並不是同一個輻射峰。所以 $f m a x$ 和波長形式中的 $λ m a x$ 不滿足 頻率×波長=波速 的關係式，即：

${f_{max}} \not= {c\over\lambda_{max}}$

其中c 表示光速。

[编辑] 定律的推導

雖然威廉·維恩提出本定律的時間是在普朗克黑體輻射定律出現之前的1893年，且過程完全基於對實驗數據的經驗總結，但可以證明，本定律是更為廣義的普朗克黑體輻射定律的一個直接推論。

根據普朗克定律，以波長為自變數的黑體輻射能流密度譜為：

$u(\lambda) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$

為求出使得u 取得最大值的 $λ$ ，令 $u (λ)$ 對 $λ$ 的導數為0

${ \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$

${hc\over\lambda kT }{1\over 1-e^{-h c/\lambda kT}}-5=0$

若定義無量綱（又稱「無因次」）變數

$x\equiv{hc\over\lambda kT }$

則

${x\over 1-e^{-x}}-5=0$

方程的解無法表示成初等函數（為郎伯W函數），但能否得到精確解並不影響本推導過程。可以很容易用數值方法得到 $x$

$x = 4.965114231744276\ldots$ (無量綱)

將解代入x 的表達式，可得：

$\lambda_{max} = {hc\over kx }{1\over T} = {2.89776829\ldots \times 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$ .

其中 $λ$ 單位為奈米，溫度單位為開爾文。

本定律的頻率形式也可通過類似的方法推得，只要將作為出發點的普朗克定律寫成頻率形式即可。

[编辑] 注釋

^ 可見光顏色的波長從長到短依次為紅- >橙- >黃- >綠- >青- >藍- >紫

^ 整個太陽光光譜完整覆蓋（且超出）了可見光光譜範圍，使得太陽光（在沒有大氣的情況下）呈白色。至於人們在地上所看見的紅日、藍天等現象，都是由於大氣層氣體分子對短波長光線作瑞利散射（Rayleigh scattering）的結果。

馬克斯·普朗克

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（重定向自馬克斯·普朗克）

「普朗克」重定向至此。關於與普朗克同名的其他主題，詳見「普朗克 (消歧義)」。

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Max Planck 馬克斯·普朗克

出生	1858年 4月23日丹麥王國基爾（現屬德國）
逝世	1947年 10月4日德國哥廷根
居住地	德國
國籍	德國
研究領域	物理學家
任職於	基爾大學柏林洪堡大學哥廷根大學
母校	慕尼黑大學柏林洪堡大學
博士導師	菲利普·馮·約利
博士學生	古斯塔夫·路德維希·赫茲瓦爾特·邁斯納瓦爾特·H·朔特基馬克斯·馮·勞厄馬克斯·亞伯拉罕莫里茨·施利克瓦爾特·博特
著名成就	普朗克常數、普朗克黑體輻射定律、舊量子論
獲獎	諾貝爾物理學獎（1918年）

馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858年4月23日－1947年10月4日），德國物理學家，量子力學的創始人，二十世紀最重要的物理學家之一，因發現能量量子而對物理學的進展做出了重要貢獻，並在1918年獲得諾貝爾物理學獎。

普朗克常數

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為馬克斯·普朗克對普朗克常數的發現設立於柏林洪堡大學的紀念牌匾。德語翻譯： "馬克斯·普朗克，基本常數的發現者，從1889年至1928年在這個大樓教過書，"

普朗克常數記為 $h$ ，是一個物理常數，用以描述量子大小。在量子力學中佔有重要的角色，馬克斯·普朗克在1900年研究物體熱輻射的規律時發現，只有假定電磁波的發射和吸收不是連續的，而是一份一份地進行的，計算的結果才能和試驗結果是相符。這樣的一份能量叫做能量子，每一份能量子等於普朗克常數乘以輻無線電磁波的頻率。這關係稱為普朗克關係，用方程式表示普朗克關係式，

E = h ν

；

其中， $E$ 是能量， $h$ 是普朗克常數， $ν$ 是頻率。

普朗克常數的值約為：

$h=6.626\ 069\ 3(11)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}$ .

其中電子伏特（eV）·秒（s）為能量單位：

$h=4.135\ 667\ 43(35)\ \times10^{-15} \mbox{eV}\cdot\mbox{s}$

普朗克常數的物理單位為能量乘上時間，也可視為動量乘上位移量：

（牛頓（N）·公尺（m）·秒（s））為角動量單位

另一個常用的量為約化普朗克常數（英語：reduced Planck constant），有時稱為狄拉克常數（英語：Dirac constant），紀念保羅·狄拉克：

$\hbar\equiv\frac{h}{2\pi}=1.054\ 571\ 68(18)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s},$

其中 $π$ 為圓周率常數 pi。 $\hbar$ 唸為 "h-bar" 。

普朗克常數用以描述量子化，微觀下的粒子，例如電子及光子，在一確定的物理性質下具有一連續範圍內的可能數值。例如，一束具有固定頻率 $ν$ 的光，其能量 $E$ 可為：

$E = n h \nu \,,\quad n\in\mathbb{N}$

有時使用角頻率 $ω = 2πν$ ：

$E = n \hbar \omega \,,\quad n\in\mathbb{N}$

許多物理量可以量子化。例如角動量量子化。 $J$ 為一個具有旋轉不變量的系統全部的角動量， $J Z$ 為沿某特定方向上所測得的角動量。其值：

$\begin{matrix} J^2 = j(j+1) \hbar^2, & j = 0, 1/2, 1, 3/2, \ldots \\ J_z = m \hbar, \qquad\quad & m = -j, -j+1, \ldots, j\end{matrix}$

因此， $\hbar$ 可稱為 "角動量量子"。

普朗克常數也使用於海森堡不確定原理。在位移測量上的不確定量（標準差）Δx ，和同方向在動量測量上的不確定量 Δp，有如下關係：

$\Delta x \Delta p \ge \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \hbar$

還有其他組物理測量量依循這樣的關係，例如能量和時間。

[编辑] 相關條目

電磁輻射

黑體輻射

自然單位

薛丁格方程式

波粒二象性

狹義相對論

廣義相對論

黑洞

普朗克時間

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預備知識
平方根	$\sqrt x$
約化普朗克常數	$\hbar$
真空中光速	$c$
重力常數	$G$

物理學中，普朗克時間(t_P)是時間的自然單位。得名自馬克斯·普朗克，它被認為是最小的可能時間間隔。

$t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx$ 5.39121(40) × 10⁻⁴⁴秒

其中：

$\hbar$ 是約化普朗克常數（即h / 2π，有時也稱作狄拉克常數。）

G是重力常數

c是真空中光速

普朗克時間相當於一顆光子以光速行進過普朗克長度的距離所花的時間，因此被認為是「時間量子」。

在大霹靂理論中，估計的宇宙年齡（4.3 × 10¹⁷秒）大約是8 × 10⁶⁰普朗克時間。

保羅·狄拉克

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保羅·狄拉克 Paul Dirac

出生	1902年8月8日英國布里斯托
逝世	1984年10月20日（82歲）美國佛羅里達州塔拉哈西
居住地	英國、美國
國籍	瑞士（1919年之前）英國（1919年之後）
研究領域	理論物理
任職於	劍橋大學佛羅里達州立大學
母校	布里斯托爾大學劍橋大學
博士導師	拉爾夫·福勒
博士學生	霍米·J·巴巴哈里什-錢德拉丹尼斯·威廉·夏馬
著名成就	量子力學
獲獎	諾貝爾物理學獎（1933年）

保羅·埃徳里恩·莫里斯·狄拉克，OM，FRS（Paul Adrien Maurice Dirac，1902年8月8日－1984年10月20日），英國理論物理學家，量子力學的奠基者之一，並對量子電動力學早期的發展作出重要貢獻。曾經主持劍橋大學的盧卡斯數學教授席位，並在佛羅里達州立大學度過他人生的最後十四個年頭。

他寫下了描述費米子的狄拉克方程式，並且預測了反物質的存在。

因為「發現了原子理論的新形式」（即狄拉克方程式），與埃爾溫·薛丁格共同獲得1933年諾貝爾物理獎。^[1]

物理之美的追尋與堅持

量子電動力學在作高階微擾計算上，得到了某些無窮大的結果。這在物理系統中是不合理的。因此一種叫作重整化的計算技巧被發展出來作為權宜之計，然而對此狄拉克無法接受這種作法。1975年的一場演講中，他發表了這樣的看法：

「

我必須說我對於這樣情況想當不滿意。因為這樣一個『好的理論』以一種隨意的方法忽視了來自於方程式的無窮發散。這不是明智的數學。明智的數學可以忽略一個極小的值，但不能因一個值為無窮大而捨棄它。^[34]

」

拒絕接受重整化使他在研究上漸漸遠離了主流。

他從他寫下的哈密頓形式出發，試圖讓量子電動力學建立在「合邏輯的基礎」上。他找到一種更新的方法來計算異常磁偶矩，並且以海森堡繪景重新推導了蘭姆位移。但儘管付出巨大的努力，狄拉克終其一生仍未能發展出滿意的理論。

1950年代晚期，狄拉克將它發展出來的哈密頓方法應用到愛因斯坦的廣義相對論。這當中牽涉到重力場量子化的問題。

為了與他的女兒瑪麗住得近一點，狄拉克在1969年辭去劍橋大學的職務並接受佛羅里達州立大學提供的教職。在最後的十四年裡，狄拉克大部分的時間都在邁阿密大學與佛羅里達州立大學裡度過。

1982年，狄拉克的健康開始惡化。在1984年10月20日，狄拉克於塔拉哈西因病去世，並依照其家人的意願將遺體埋在當地墓園。

宗教觀點

海森堡蒐集了的1927年索爾維會議中一群年輕學者的對話，內容是討論愛因斯坦和普朗克對宗教的觀點。包立、海森堡與狄拉克皆接參與其中。狄拉克批評了宗教上的政治意圖，而波耳則讚許了其光明面。對於其他的部分，狄拉克有這樣的意見：

「

我不能理解我們為何閒著沒事要討論宗教。如果我們抱持科學家該有的誠實態度，那必須承認宗教混雜著虛假的斷言，沒有真實的基礎。上帝的概念不過是人類幻想的產物。對於那些暴露在自然力量下的原始人類，不難理解他們會將這些恐懼與害怕擬人化。然而如今我們已經瞭解了這麼多自然現象，我們不再需要如此看待自然萬物。我一直都不明白，假設一個全知全能的上帝對我們到底有什麼好處。這個假設導致了無數的問題，例如為何上帝容許苦難和不公正、富人對窮人的剝削利用以及各種他該為我們消弭的恐怖。如果宗教仍持續被教導，那絕不是因為這些思想說服了我們，而是因為有部分人士希望底下的人們保持沉默。比起吵鬧與不滿的群眾，那些沉默的大眾更容易統治，同時也更容易剝削。宗教正是一種鴉片，使民族麻痺而沉浸於一廂情願的夢想，忘卻了不公不義。也因此國家與教會一直是密切的聯盟。雙方都需要這種錯覺，一位好心的神將會（如果不在人世就會在天堂）獎勵那些不對抗不公義、毫無怨言默默完成工作的人們。這也是為何，把神視作一種幻想的這種想法總是被當作人類最大的罪過。^[50]

」

海森堡對此接受各種意見。包立作為一名天主教徒，從話題一開始便一直保持沉默，然而在被問及意見時他說到：「看來我們的好友狄拉克抱持一種信仰，而其指導原則是『上帝不存在，而狄拉克是祂的先知』」所有人包括狄拉克都大笑了起來。^[51]

狄拉克方程式

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量子場論

費曼圖

歷史...

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理論物理中，相對於薛丁格方程式之於非相對論量子力學，狄拉克方程式是相對論量子力學的一項描述自旋-½粒子的波函數方程式，由英國物理學家保羅·狄拉克於1928年建立，不帶矛盾地同時遵守了狹義相對論與量子力學兩者的原理，實則為薛丁格方程式的勞侖茲協變式。這條方程式預言了反粒子的存在，隨後1932年由卡爾·安德森發現了正子(positron)而證實。

狄拉克方程式的形式如下：

$i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t} = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \psi (\mathbf{x},t)$ ，

其中 $m \,$ 是自旋-½粒子的質量， $\mathbf{x}$ 與 $t$ 分別是空間和時間的座標。

[编辑] 狄拉克的最初推導

狄拉克所希望建立的是一個同時具有勞侖茲協變性和薛丁格方程式形式的波方程式，並且這個方程式需要確保所導出的機率密度為正值，而不是像克萊因-戈登方程式那樣存在缺乏物理意義的負值。考慮薛丁格方程式

$i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t} = H \psi (\mathbf{x},t)$

薛丁格方程式只包含線性的時間一階導數從而不具有勞侖茲協變性，因此很自然地想到構造一個具有線性的空間一階導數的哈密頓量。這一理由是很合理的，因為空間一階導數恰好是動量。

$i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t} = \left[ \frac{\hbar c}{i} \left( \alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1} + \alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2} + \alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3}\right) + \beta m_0 c^2\right] \psi (\mathbf{x},t) \equiv H \psi (\mathbf{x},t)$

其中的係數 $α i$ 和 $β$ 不能是簡單的常數，否則即使對於簡單的空間旋轉變換，這個方程式也不是勞侖茲協變的。因此狄拉克假設這些係數都是N×N階矩陣以滿足勞侖茲協變性。如果係數 $α i$ 是矩陣，那麼波函數 $\psi (\mathbf{x},t)$ 也不能是簡單的純量場，而只能是N×1階列向量

$\psi (\mathbf{x},t)= \begin{pmatrix} \psi_1 (\mathbf{x},t)\\ \psi_2 (\mathbf{x},t)\\ \psi_3 (\mathbf{x},t)\\ \vdots \\ \psi_N (\mathbf{x},t)\\ \end{pmatrix}$

狄拉克把這些列向量叫做旋量（Spinor），這些旋量所決定的機率密度總是正值

$\rho(x) = \psi^\dagger \psi = \sum_{k=1}^N \psi_i^* \psi_i$

同時，這些旋量的每一個純量分量 $\psi_i(\mathbf{x},t)$ 需要滿足純量場的克萊因-戈登方程式。比較兩者可以得出係數矩陣需要滿足如下關係:

α i α j + α j α i = 2δ i j I

α i β + βα i = 0

$\alpha_i^2 = \beta^2 = I$

滿足上麵條件的係數矩陣 $α$ 和 $β$ 本徵值只可以取±1，並且要求是無跡的，即矩陣的對角線元素和為零。這樣，矩陣的階數N只能為偶數，即包含有相等數量的+1和-1。滿足條件的最小偶數是4而不是2，原因是存在3個包立矩陣。

在不同表象中這些係數矩陣有不同形式，最常見的形式為

$\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \quad \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}$

這裡 $σ i$ 即為包立矩陣

$\sigma_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} \quad\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

因此係數矩陣 $α$ 和 $β$ 可進一步寫為

$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

按照量子場論的習慣， $\hbar = c = 1$ ，狄拉克方程式可寫為

$i\frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial t} = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \psi (\mathbf{x},t)$

[编辑] 狄拉克方程式的勞侖茲協變形式

定義四個反對易矩陣γ^μ,μ=0,1,2,3。其反對易關係為

$\left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = -2\eta^{\mu\nu}$ ，其中η^μν是光滑時空的度規。

$\eta = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

利用上式可證明

$\left( \gamma^\mu \partial _\mu \right)^2 = \frac{1}{2}\left\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \right\}\partial _\mu \partial _\nu = -\partial _\nu \partial ^\nu = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$

這裡也採取了量子場論的習慣， $\hbar = c = 1$ 。此時狄拉克方程式形式為

$\frac{1}{i} \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m\psi = 0$

[编辑] 狄拉克方程式的解

[编辑] 狄拉克之海

主條目：狄拉克之海

以狄拉克公式來解釋能量階，會發現每個電子能階會有相對的負能階，但是實驗上普通電子無法帶有負能量，因此狄拉克假設負能量階已被無限的負能電子海佔據，所以觀測的電子無法進入負能階。這假說有許多疑點，尤其是無限的電子海其實有接受更多電子的能階，所以無法防止負能階電子的產生。　

薛丁格方程式

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量子力學

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

不確定性原理

入門、數學表述

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查 • 論 • 編 • 歷

薛丁格方程式（英語：Schrödinger equation）是由奧地利物理學家薛丁格在1926年提出的一個用於描述量子力學中波函數的運動方程式^[1]，被認為是量子力學的奠基理論之一。

薛丁格方程式主要分為含時薛丁格方程式與不含時薛丁格方程式。含時薛丁格方程式相依於時間，專門用來計算一個量子系統的波函數，怎樣隨著時間演變。不含時薛丁格方程式不相依於時間，可以計算一個定態量子系統，對應於某本徵能量的本徵波函數。波函數又可以用來計算，在量子系統裏，某個事件發生的機率幅。而機率幅的絕對值的平方，就是事件發生的機率密度。

薛丁格方程式的解答，清楚地描述量子系統裏，量子尺寸粒子的統計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像電子、質子、正子、等等，與一組相同或不相同的粒子，像原子核。

薛丁格方程式可以轉換為海森堡的矩陣力學，或費曼的路徑積分表述 (path integral formulation) 。薛丁格方程式是個非相對論性的方程式，不能夠用於相對論性理論。海森堡表述比較沒有這麼嚴重的問題；而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。

[编辑] 含時薛丁格方程式

雖然，含時薛丁格方程式能夠啟發式地從幾個假設導引出來。理論上，我們可以直接地將這方程式當作一個基本假定。在一維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢 $V(x)\,\!$ 中的含時薛丁格方程式為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,\,t)+V(x)\Psi(x,\,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,\,t)\,\!$ ；(1)

其中， $m\,\!$ 是質量， $x\,\!$ 是位置， $\Psi(x,\,t)\,\!$ 是相依於時間 $t\,\!$ 的波函數， $\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數， $V(x)\,\!$ 是位勢。

類似地，在三維空間裏，一個單獨粒子運動於位勢 $V(\mathbf{r})\,\!$ 中的含時薛丁格方程式為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t)+V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},\,t)\,\!$ 。(2)

假若，系統內有 $N\,\!$ 個粒子，則波函數是定義於 $3N\,\!$ -位形空間，所有可能的粒子位置空間。用方程式表達，

$- \hbar^2({\nabla_1^2\over 2m_1}+{\nabla_2^2 \over 2m_2} \dots+{\nabla_N^2\over 2m_N} ) \Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t) + V(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N)\Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t)\,\!$

$=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}_1,\,\mathbf{r}_2,\,\dots,\,\mathbf{r}_N,\,t)\,\!$ 。

其中，波函數 $\Psi\,\!$ 的第 $i\,\!$ 個參數是第 $i\,\!$ 個粒子的位置。所以，第 $i\,\!$ 個粒子的位置是 $\mathbf{r}_i\,\!$ 。

[编辑] 不含時薛丁格方程式

不含時薛丁格方程式不相依於時間，又稱為本徵能量薛丁格方程式，或定態薛丁格方程式。顧名思義，本徵能量薛丁格方程式，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。

應用分離變數法，猜想 $\Psi(x,\,t)\,\!$ 的函數形式為

$\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}\,\!$ ；

其中， $E\,\!$ 是分離常數， $\psi_E(x)\,\!$ 是對應於 $E\,\!$ 的函數．稍回兒，我們會察覺 $E\,\!$ 就是能量．

代入這猜想解，經過一番運算，含時薛丁格方程式 (1) 會變為不含時薛丁格方程式：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) \,\!$ 。

類似地，方程式 (2) 變為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_E(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}) \,\!$ 。

[编辑] 歷史背景與發展

愛因斯坦詮釋普朗克的量子為光子，光波的粒子；也就是說，光波具有粒子的性質，一種很奇奧的波粒二象性。他建議光子的能量與頻率成正比。在相對論裏，能量與動量之間的關係跟頻率與波數之間的關係相同，所以，連帶地，光子的動量與波數成正比。

1924年，路易·德布羅意提出一個驚人的假設，每一種粒子都具有波粒二象性。電子也有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量決定了它的物質波的頻率與波數。1927年，柯林頓·戴維孫和雷斯特·革末將緩慢移動的電子射擊於鎳晶體標靶。然後，測量反射的強度，偵測結果與X射線根據布拉格定律 (Bragg's law) 計算的繞射圖案相同。戴維森-革末實驗徹底的證明了德布羅意假說。

薛丁格夜以繼日地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應該會有一個反應這特性的波動方程式，能夠正確地描述粒子的量子行為。於是，薛丁格試著尋找一個波動方程式。哈密頓先前的研究引導著薛丁格的思路，在牛頓力學與光學之間，有一種類比，隱蔽地暗藏於一個察覺裏。這察覺就是，在零波長極限，實際光學系統趨向幾何光學系統；也就是說，光射線的軌道會變成明確的路徑，遵守最小作用量原理。哈密頓相信，在零波長極限，波傳播會變為明確的運動。可是，他並沒有設計出一個方程式來描述這波行為。這也是薛丁格所成就的。他很清楚，經典力學的哈密頓原理，廣為學術界所知地，對應於光學的費馬原理。藉著哈密頓-亞可比方程式，他成功地創建了薛丁格方程式。薛丁格用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到了與用波耳模型計算出的能級相同的答案。

但是，薛丁格對這結果並不滿足，因為，索末菲似乎已經正確地計算出氫原子光譜線精細結構常數的相對論性的修正。薛丁格試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式（現今稱為克萊因-戈登方程式），可以描述電子在庫侖位勢內的量子行為。薛丁格計算出這方程式的定態波函數。可是，相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此，他認為先前非相對論性的部分，仍舊含有足夠的新結果。因此，決定暫時不發表相對論性的修正，只把他的波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，正式發表於物理學界^[2]。從此，給予了量子力學一個新的發展平台。

薛丁格方程式漂亮地解釋了 $\psi\,\!$ 的行為，但並沒有解釋 $\psi\,\!$ 的意義。薛丁格曾嘗試解釋 $\psi\,\!$ 代表電荷的密度，但卻失敗了。1926年，就在薛丁格第四篇的論文發表之後幾天，馬克斯·玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了 $\psi\,\!$ 的物理意義^[3]。可是，薛丁格本人一直不承認這種統計或機率的表示方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮。就像愛因斯坦的認為量子力學是基本為確定性理論的統計近似，薛丁格永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給馬克斯·玻恩的一封信內，薛丁格清楚地表明了這看法。

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